MTH 201 Chapter 8 Solutions, Fall 2015

CHAPTER 8 TECHNIQUES OF INTEGRATION 8.1 INTEGRATION BY PARTS 1. u x, du dx; dv sin dx, v 2 cos ; œ œ œ œ � x x # # x sin dx 2x cos 2 cos dx 2x cos 4 sin C ' ' x x x x x # # # # # œ � � � œ � � � ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 2. u , du d ; dv cos d , v sin ; œ œ œ œ ) ) 1) ) 1) " 1 cos d sin sin d sin cos C ' ' ) 1) ) 1) 1) ) 1) 1) œ � œ � � ) ) 1 1 1 1 " " # 3. cos t t sin t # ïïïïî Ð�Ñ 2t cos t ïïïïî � Ð�Ñ 2 sin t ïïïïî � Ð�Ñ 0 t cos t dt t sin t 2t cos t 2 sin t C ' # œ # � � � 4. sin x x cos x # ïïïïî � Ð�Ñ 2x in x s ïïïïî � Ð�Ñ 2 cos x ïïïïî Ð�Ñ 0 x sin x dx x cos x 2x sin x 2 cos x C ' # œ � # � � � 5. u ln x, du ; dv x dx, v ; œ œ œ œ dx x x # # x ln x dx ln x 2 ln 2 2 ln 2 ln 4 ' ' 1 1 2 2 œ � œ � œ � œ � ’ “ ’ “ x x dx x 3 3 x 4 4 4 # # # # # # # " " 6. u ln x, du ; dv x dx, v ; œ œ œ œ dx x x 4 $ % x ln x dx ln x ' ' 1 1 e e e e 1 1 $ � œ � œ � œ ’ “ ’ “ x x dx e x 3e 1 4 4 x 4 16 16 % % % % % 7. u x, du dx ; dv e dx, v e ; œ œ œ œ x x x e dx x e e dx x e e C ' ' x x x x x œ � œ � � 8. u x, du dx ; dv e dx, v e ; œ œ œ œ 3x 3x 1 3 x e dx e e dx e e C ' ' 3x 3x 3x 3x 3x x 1 x 1 3 3 3 9 œ � œ � � Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. 462 Chapter 8 Techniques of Integration 9. e�x x e # � ïïïïî � Ð�Ñ x 2x e ïïïïî Ð�Ñ �x 2 e ïïïïî � Ð�Ñ �x 0 x e dx x e 2x e 2 e C ' # � # � � � x x x x œ � � � � 10. e2x x 2x 1 e # � � ïïïïî Ð�Ñ 1 2 2x 2x 2 e � ïïïïî Ð � Ñ 1 4 2x 2 e ïïïïî Ð�Ñ 1 8 2x 0 x 2x 1 e dx x 2x 1 e 2x 2 e e C ' a b a b a b # # � � œ � � � � � � 2x 2x 2x 2x 1 1 1 2 4 4 x x e C œ � � � ˆ ‰ 1 3 5 2 2 4 2x # 11. u tan y, du ; dv dy, v y; œ œ œ œ �" � dy 1 y# tan y dy y tan y y tan y ln 1 y C y tan y ln 1 y C ' ' �" �" �" # �" � # " # œ � œ � � � œ � � � y dy 1 y a #b a b È 12. u sin y, du ; dv dy, v y; œ œ œ œ �" � dy 1 y È # sin y dy y sin y y sin y 1 y C ' ' �" �" �" � # œ � œ � � � y dy 1 y È # È 13. u x, du dx; dv sec x dx, v tan x; œ œ œ œ # x sec x dx x tan x tan x dx x tan x ln cos x C ' # œ � œ � � ' k k 14. 4x sec 2x dx; [y 2x] y sec y dy y tan y tan y dy y tan y ln sec y C ' ' ' # # œ Ä œ � œ � � k k 2x tan 2x ln sec 2x C œ � � k k 15. ex x e $ ïïïïî Ð�Ñ x 3x e # ïïïïî Ð�Ñ x 6x e ïïïïî Ð�Ñ x 6 e ïïïïî Ð�Ñ x 0 x e dx x e 3x e 6xe 6e C x 3x 6x 6 e C ' $ $ # $ # x x x x x x œ � � � � œ � � � � a b Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. Section 8.1 Integration by Parts 463 16. e�p p e % ïïïïî � Ð�Ñ �p 4p e $ ïïïïî Ð�Ñ �p 12p e # ïïïïî � Ð�Ñ �p 24p e ïïïïî Ð�Ñ �p 24 e ïïïïî � Ð�Ñ �p 0 p e dp p e 4p e 12p e 24pe 24e C ' % % $ # � � � � � � p p p p p p œ � � � � � � p 4p 12p 24p 24 e C œ � � � � � � a b % $ # �p 17. ex x 5x e # � ïïïïî Ð�Ñ x 2x 5 e � ïïïïî Ð�Ñ x 2 e ïïïïî Ð�Ñ x 0 x 5x e dx x 5x e (2x 5)e 2e C x e 7xe 7e C ' a b a b # # # � œ � � � � � œ � � � x x x x x x x x 7x 7 e C œ � � � a b # x 18. er r r 1 e # � � ïïïïî Ð�Ñ r 2r 1 e � ïïïïî Ð�Ñ r 2 e ïïïïî Ð�Ñ r 0 r r 1 e dr r r 1 e (2r 1) e 2e C ' a b a b # # � � œ � � � � � � r r r r r r 1 (2r 1) 2 e C r r 2 e C œ � � � � � � œ � � � c d a b a b # # r r 19. ex x e & ïïïïî Ð�Ñ x 5x e % ïïïïî Ð�Ñ x 20x e $ ïïïïî Ð�Ñ x 60x e # ïïïïî Ð�Ñ x 120x e ïïïïî Ð�Ñ x 120 e ïïïïî Ð�Ñ x 0 x e dx x e 5x e 20x e 60x e 120xe 120e C ' & & % $ # x x x x x x x œ � � � � � � x 5x 20x 60x 120x 120 e C œ � � � � � � a b & % $ # x Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. 464 Chapter 8 Techniques of Integration 20. e4t t e # " ïïïïî Ð�Ñ 4 4t 2t e ïïïïî Ð�Ñ " 16 4t 2 e ïïïïî Ð�Ñ " 64 4t 0 t e dt e e e C e e e C ' # " # 4t 4t 4t 4t 4t 4t 4t œ � � � œ � � � t 2t 2 t t 4 16 64 4 8 3 # # e C œ � � � Š ‹ t t 4 8 3 # " # 4t 21. I e sin d ; u sin , du cos d ; dv e d , v e I e sin e cos d ; œ œ œ œ œ Ê œ � ' ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) c d ' u cos , du sin d ; dv e d , v e I e sin e cos e sin d c d Š ‹ œ œ � œ œ Ê œ � � ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ' e sin e cos I C 2I e sin e cos C I e sin e cos C, where C is œ � � � Ê œ � � Ê œ � � œ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) w w " # # a b a b Cw another arbitrary constant 22. I e cos y dy; u cos y, du sin y dy; dv e dy, v e œ œ œ � œ œ � ' � � � y y y c d I e cos y e ( sin y) dy e cos y e sin y dy; u sin y, du cos y dy; Ê œ � � � � œ � � œ œ � � � � y y y y ' ' a b c dv e dy, v e I e cos y e sin y e cos y dy e cos y e sin y I C d a b Š ‹ œ œ � Ê œ � � � � � œ � � � � � � � � � � y y y y y y y ' w 2I e (sin y cos y) C I e sin y e cos y C, where C is another arbitrary constant Ê œ � � Ê œ � � œ � � � y y y w " # # a b Cw 23. I e cos 3x dx; u cos 3x; du 3 sin 3x dx, dv e dx; v e œ œ œ � œ œ ' 2x 2x 2x � ‘ " # I e cos 3x e sin 3x dx; u sin 3x, du 3 cos 3x, dv e dx; v e Ê œ � œ œ œ œ " " # # # 2x 2x 2x 2x 3 ' � ‘ I e cos 3x e sin 3x e cos 3x dx e cos 3x e sin 3x I C Ê œ � � œ � � � " " " # # # # # w 2x 2x 2x 2x 2x 3 3 3 9 4 4 Š ‹ ' I e cos 3x e sin 3x C (3 sin 3x 2 cos 3x) C, where C C Ê œ � � Ê � � œ 13 3 e 4 4 4 13 13 " # w w 2x 2x 2x 24. e sin 2x dx; [y 2x] e sin y dy I; u sin y, du cos y dy; dv e dy, v e ' ' � � � � 2x y y y œ Ä œ œ œ œ œ � " # c d I e sin y e cos y dy u cos y, du sin y; dv e dy, v e Ê œ � � œ œ � œ œ � " # Š ‹ c d � � � � y y y y ' I e sin y e cos y e ( sin y) dy e (sin y cos y) I C Ê œ � � � � � � œ � � � � " " " # # # w � � � � y y y y Š ‹ a b ' 2I e (sin y cos y) C I e (sin y cos y) C (sin 2x cos 2x) C, where C Ê œ � � � Ê œ � � � œ � � � œ " " # # w � � y y 4 4 e C �2x w 25. e ds; e x dx xe dx; u x, du dx; dv e dx, v e ; 3s 9 x ds x dx ' ' ' È3s 9 x x x x � ” • c d � œ œ Ä œ œ œ œ œ # 2 3 2 2 3 3 † xe dx xe e dx xe e C 3s 9 e e C 2 2 2 2 3 3 3 3 ' Š ‹ Š ‹ a b È x x x x x 3s 9 3s 9 œ � œ � � œ � � � ' È È � � 26. u x, du dx; dv 1 x dx, v (1 x) ; œ œ œ � œ � � È 2 È 3 $ x 1 x dx (1 x) x (1 x) dx (1 x) ' ' 0 0 1 1 È � ‘ � ‘ È È � œ � � � � œ � � œ 2 2 2 2 4 3 3 3 5 15 $ $ " ! ! &Î# " 27. u x, du dx; dv tan x dx, v tan x dx dx dx dx œ œ œ œ œ œ œ � # # " � ' ' ' ' ' sin x cos x dx cos x cos x cos x # # # # # tan x x; x tan x dx x(tan x x) (tan x x) dx 3 ln cos x œ � œ � � � œ � � � ' ' 0 0 3 3 1 1 Î Î # Î$ ! # Î$ ! c d k k Š ‹ ’ “ È 1 1 1 1 3 3 x# 3 ln ln 2 œ � � � œ � � 1 1 1 1 1 3 3 18 3 18 3 Š ‹ È " # # # È Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. Section 8.1 Integration by Parts 465 28. u ln x x , du ; dv dx, v x; ln x x dx x ln x x x dx œ � œ œ œ � œ � � a b a b a b # # # � � � � " (2x 1) dx x x x(x 1) 2x # ' ' † x ln x x x ln x x dx x ln x x 2x ln x 1 C œ � � œ � � œ � � � � � a b a b a b k k # # # � � � " � � ' ' (2x 1) dx 2(x 1) x 1 x 1 29. sin (ln x) dx; du dx (sin u) e du. From Exercise 21, (sin u) e du e C u ln x dx e du ' ' ' Ô × Õ Ø ˆ ‰ œ œ Ä œ � œ " � # x sin u cos u u u u u x cos (ln x) x sin (ln x) C œ � � � " # c d 30. z(ln z) dz; du dz e u e du e u du; u ln z dz e du ' ' ' # # # " Ô × Õ Ø œ œ Ä œ œ z u u 2u u † † † e2u u e # " ïïïïî Ð�Ñ 2 2u 2u e ïïïïî Ð�Ñ " 4 2u 2 e ïïïïî Ð�Ñ " 8 2u 0 u e du e e e C 2u 2u 1 C ' # # # # " 2u 2u 2u 2u œ � � � œ � � � u u e 4 4 # 2u c d 2(ln z) 2 ln z 1 C œ � � � z 4 # c d # 31. x sec x dx Let u x , du 2x dx du x dx x sec x dx sec u du ln sec u tan u C ' ' ' # # # ’ “ œ œ Ê œ Ä œ œ l � l � 1 1 1 2 2 2 ln sec x tan x C œ l � l � 1 2 # # 32. dx Let u x, du dx 2du dx dx 2 cos u du 2 sin u C 2 sin x C ' ' ' cos x cos x x 2 x x x 1 1 È È È È È È ’ “ È È œ œ Ê œ Ä œ œ � œ � 33. x ln x dx; du dx e u e du e u du; u ln x dx e du ' ' ' a b Ô × Õ Ø # " # # œ œ Ä œ œ x u u 2u u † † † e2u u e # " ïïïïî Ð�Ñ 2 2u 2u e ïïïïî Ð�Ñ " 4 2u 2 e ïïïïî Ð�Ñ " 8 2u 0 u e du e e e C 2u 2u 1 C ' # # # # " 2u 2u 2u 2u œ � � � œ � � � u u e 4 4 # 2u c d 2(ln x) 2 ln x 1 C ln x ln x C œ � � � œ � � � x x x x 4 2 2 4 # # # # c d a b # # 34. dx Let u ln x, du dx dx du C C ' ' ' " " x ln x x ln x 1 1 1 x u ln x 1 u a b a b # # ’ “ œ œ Ä œ œ � � œ � � 2 35. u ln x, du dx; dv dx, v ; œ œ œ œ � 1 1 1 x x x 2 dx dx C ' ' ln x ln x ln x 1 x x x x x 2 œ � � œ � � � " # 36. dx Let u ln x, du dx dx u du u C ln x C ' ' ' a b a b ln x ln x 4 x x x 4 4 1 1 1 3 4 3 3 ’ “ a b œ œ Ä œ œ � œ � Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. 466 Chapter 8 Techniques of Integration 37. x e dx Let u x , du 4x dx du x dx x e dx e du e C e C ' ' ' 3 x 4 3 3 3 x u u x 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 ’ “ œ œ Ê œ Ä œ œ � œ � 38. u x , du 3x dx; dv x e dx, v e ; œ œ œ œ 3 2 2 x x 1 3 3 3 x e dx x e x dx x e e 3x dx x e e C ' ' ' 5 x 3 x 2 3 x x 2 3 x x 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 œ œ � œ � � 39. u x , du 2x dx; dv x 1 x dx, v x 1 ; œ œ œ � œ � 2 2 2 1 3 3 2 È a b Î x x 1 dx x x 1 x 1 2x dx x x 1 x 1 C ' ' 3 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 3 3 3 15 3 2 3 2 3 2 5 2 È a b a b a b a b � œ � � � œ � � � � Î Î Î Î 40. x sin x dx Let u x , du 3x dx du x dx x sin x dx sin u du cos u C ' ' ' 2 3 3 2 2 2 3 1 1 1 3 3 3 ’ “ œ œ Ê œ Ä œ œ � � cos x C œ � � 1 3 3 41. u sin 3x, du 3cos 3x dx; dv cos 2x dx, v sin 2x ; œ œ œ œ 1 2 sin 3x cos 2x dx sin 3x sin 2x cos 3x sin 2x dx ' ' œ � 1 3 2 2 u cos 3x, du 3sin 3x dx; dv sin 2x dx, v cos 2x ; œ œ � œ œ � 1 2 sin3x cos 2x dx sin 3x sin 2x cos 3x cos 2x sin3x cos 2x dx ' ' œ � � � 1 3 1 3 2 2 2 2 ” • sin 3x sin 2x cos 3x cos 2x sin 3x cos 2x dx sin 3x cos 2x dx sin 3x sin 2x cos 3x cos 2x œ � � Ê � œ � 1 3 9 5 1 3 2 4 4 4 2 4 ' ' sin 3x cos 2x dx sin 3x sin 2x cos 3x cos 2x C Ê œ � � � ' 2 3 5 5 42. u sin 2x, du 2cos 2x dx; dv cos 4x dx, v sin 4x ; œ œ œ œ 1 4 sin 2x cos 4x dx sin 2x sin 4x cos 2x sin 4x dx ' ' œ � 1 1 4 2 u cos 2x, du 2sin 2x dx; dv sin 4x dx, v cos 4x ; œ œ � œ œ � 1 4 sin 2x cos 4x dx sin 2x sin 4x cos 2x cos 4x sin 2x cos 4x dx ' ' œ � � � 1 1 1 1 4 2 4 2 ” • sin 2x sin 4x cos 2x cos 4x sin 2x cos 4x dx sin 2x cos 4x dx sin 2x sin 4x cos 2x cos 4x œ � � Ê œ � 1 1 1 3 1 1 4 8 4 4 4 8 ' ' sin 2x cos 4x dx sin 2x sin 4x cos 2x cos 4x C Ê œ � � ' 1 1 3 6 43. e sin e dx Let u e , du e dx e sin e dx sin u du cos u C cos e C ' ' ' x x x x x x x ’ “ œ œ Ä œ œ � � œ � � 44. dx Let u x, du dx 2du dx dx 2 e du 2e C 2e C ' ' ' e e x x 1 1 2 x x u u x È È x x È È È È È ’ “ œ È œ Ê œ Ä œ œ � œ � 45. cos x dx; cos y 2y dy 2y cos y dy; y x dy dx dx 2y dy ' ' ' È Ô × Ö Ù Õ Ø œ È œ œ Ä œ " 2 x È u 2y, du 2 dy; dv cos y dy, v sin y ; œ œ œ œ 2y cos y dy 2y sin y 2 sin y dy 2y sin y 2 cos y C 2 x sin x 2 cos x C ' ' œ � œ � � œ � � È È È Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. Section 8.1 Integration by Parts 467 46. x e dx; y e 2y dy 2y e dy; y x dy dx dx 2y dy ' ' ' È Ô × Ö Ù Õ Ø È È È x y 2 y 2 x œ œ œ Ä œ " ey 2y e # ïïïïî Ð�Ñ y 4y e ïïïïî Ð�Ñ y 4 e ïïïïî Ð�Ñ y 0 2y e dy 2y e 4y e 4 e C 2x e 4 x e 4e C ' 2 y y y y x x x œ � � � œ � � � # È È È È 47. sin 2) cos 2 ) ) # " ïïïïî � Ð�Ñ 2 2 sin 2 ) ) ïïïïî � Ð�Ñ " 4 2 cos 2 ïïïïî Ð�Ñ " 8 ) 0 sin 2 d cos 2 sin 2 cos 2 ' 0 2 1Î ) ) ) ) ) ) # # # " Î# ! œ � � � ’ “ ) ) 1 # 4 ( 1) 0 ( 1) 0 0 1 œ � � � � � � � � œ � œ ’ “ � ‘ 1 1 1 1 # # # 8 4 4 4 8 8 4 † † † † " " " � # 48. cos 2x x sin 2x $ " ïïïïî Ð�Ñ 2 3x cos 2x # " ïïïïî � Ð�Ñ 4 6x sin 2x ïïïïî � Ð�Ñ " 8 6 os 2x c ïïïïî Ð�Ñ " 16 0 x cos 2x dx sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x ' 0 1Î2 $ # Î# ! œ � � � ’ “ x 3x 3x 3 4 4 8 $ # 1 0 ( 1) 0 ( 1) 0 0 0 1 œ � � � � � � � � � œ � � œ ’ “ � ‘ 1 1 1 1 1 $ # # # 16 16 8 8 8 16 4 16 3 3 3 3 3 3 3 4 † † † † † a b � 49. u sec t, du ; dv t dt, v ; œ œ œ œ �" � # dt t t t 1 È # # t sec t dt sec t 2 ' ' ' 2 3 2 3 2 3 2 2 2 Î Î Î È È È �" �" # # # #Î $ � � œ � œ � � ’ “ Š ‹ ˆ ‰ t t dt 2 t dt t t 1 2 t 1 3 3 6 # # # # È È È † † 1 1 t 1 3 1 3 œ � � œ � � � œ � � œ � œ 5 5 4 5 5 9 9 3 9 3 9 3 9 3 3 5 3 3 1 1 1 1 1 ’ “ Š ‹ Š ‹ È È È É " " " # # # # # #Î $ � È È È È 50. u sin x , du ; dv 2x dx, v x ; œ œ œ œ �" # # � a b 2x dx È1 x % 2x sin x dx x sin x x ' ' ' 0 0 0 1 2 1 2 1 2 Î Î Î È È È �" # # �" # # "Î # ! � � " # � a b c d a b ˆ ‰ ˆ ‰ œ � œ � È È È ˆ ‰ † 2x dx 1 x 2 1 x 6 d 1 x % % % 1 1 x 1 œ � � œ � � œ 1 1 1 1 1 4 1 3 6 3 12 # # # % "Î # ! � � ’ “ È É È È 51. (a) u x, du dx; dv sin x dx, v cos x; œ œ œ œ � S x sin x dx [ x cos x] cos x dx [sin x] " ! ! œ œ � � œ � œ ' ' 0 0 1 1 1 1 1 1 Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. 468 Chapter 8 Techniques of Integration (b) S x sin x dx [ x cos x] cos x dx 3 [sin x] 3 # # # œ � œ � � � œ � � � œ ' ' 1 1 1 1 2 2 ” • c d 1 1 1 1 1 1 (c) S x sin x dx [ x cos x] cos x dx 5 [sin x] 5 $ $ $ # # œ œ � � œ � œ ' ' 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (d) S ( 1) x sin x dx ( 1) [ x cos x] [sin x] 8�" œ � œ � � � n 1 n 1 n 1 n 1 n n 1 n n � � Ð � Ñ Ð � Ñ Ð � Ñ ' 1 1 1 1 1 1 c d ( 1) (n 1) ( 1) n ( 1) 0 (2n 1) œ � � � � � � � œ � n 1 n n 1 � � c d 1 1 1 52. (a) u x, du dx; dv cos x dx, v sin x; œ œ œ œ S x cos x dx [x sin x] sin x dx [cos x] 2 " # # œ � œ � � œ � � � � œ ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 Î Î Î Î Î Î Î Î 2 2 3 2 3 2 3 2 3 2 2 2 ” • ˆ ‰ 31 1 1 (b) S x cos x dx [x sin x] sin x dx [cos x] 4 # # # œ œ � œ � � � œ ' ' 3 2 3 2 5 2 5 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Î Î Î Î & Î & Î $ Î $ Î � ‘ ˆ ‰ 5 3 1 1 1 (c) S x cos x dx [x sin x] sin x dx [cos x] 6 $ # # œ � œ � � œ � � � � œ ' ' 5 2 5 2 7 2 7 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 Î Î Î Î ( Î ( Î & Î & Î ” • ˆ ‰ 7 5 1 1 1 (d) S ( 1) x cos x dx ( 1) [x sin x] sin x dx n n n n 2n 1 2 2n 1 2 2n 1 2 2n 1 2 n 1 2 2n 1 2 œ � œ � � ' ' Ð � Ñ Î Ð � Ñ Î Ð � Ñ Î Ð � Ñ Î Ð# � Ñ Î Ð � Ñ Î 1 1 1 1 1 1 ” • ( 1) ( 1) ( 1) [cos x] (2n 2n ) 2n œ � � � � � œ � � � œ n n n 1 n 1 2 2n 1 2 ’ “ (2n 1) (2n 1) � � # # # " 1 1 � Ð# � Ñ Î Ð � Ñ Î 1 1 1 1 1 1 1 53. V 2 (ln 2 x) e dx 2 ln 2 e dx 2 xe dx œ � œ � ' ' ' 0 0 0 ln 2 ln 2 ln 2 x x x 1 1 1 (2 ln 2) e 2 xe e dx œ � � 1 1 c d c d Œ � x x x ln 2 ln 2 0 0 0 ln 2 ' 2 ln 2 2 2 ln 2 e 2 ln 2 2 2 (1 ln 2) œ � � œ � � œ � 1 1 1 1 1 ˆ ‰ c d x ln 2 0 54. (a) V 2 xe dx 2 xe e dx œ œ � � ' ' 0 0 1 1 x x x 1 1 � � � Œ � c d " ! 2 e 2 1 œ � � � œ � � � 1 1 Š ‹ c d ˆ ‰ " " " " ! e e e �x œ 2 1 � 4 e 1 (b) V 2 (1 x)e dx; u 1 x, du dx; dv e dx, œ � œ � œ � œ ' 0 1 x x 1 � � v e ; V 2 (1 x) e e dx œ � œ � � � � � � x x x 0 1 1 ” • c d a b " ! ' 2 [0 1( 1)] e 2 1 1 œ � � � œ � � œ 1 1 ’ “ c d ˆ ‰ �x " ! " e e 21 55. (a) V 2 x cos x dx 2 [x sin x] sin x dx œ œ � ' ' 0 0 2 2 1 1 Î Î 1 1 Œ � 1Î# ! 2 [cos x] 2 0 1 ( 2) œ � œ � � œ � 1 1 1 1 Š ‹ ˆ ‰ 1 1 1 # # Î# ! (b) V 2 x cos x dx; u x, du dx; dv cos x dx, v sin x; œ � œ � œ � œ œ ' 0 2 1Î 1 ˆ ‰ 1 1 # # V 2 x sin x 2 sin x dx 0 2 [ cos x] 2 (0 1) 2 œ � � œ � � œ � œ 1 1 1 1 1 � ‘ ˆ ‰ 1 1 1 # Î# ! Î# ! ' 0 2 1Î Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. Section 8.1 Integration by Parts 469 56. (a) V 2 x(x sin x) dx; œ ' 0 1 1 sin x x cos x # ïïïïî � Ð�Ñ 2x s in x ïïïïî � Ð�Ñ 2 cos x ïïïïî Ð�Ñ 0 V 2 x sin x dx 2 x cos x 2x sin x 2 cos x 2 4 Ê œ œ � � � œ � 1 1 1 1 ' 0 1 # # # ! c d a b 1 (b) V 2 ( x)x sin x dx 2 x sin x dx 2 x sin x dx 2 [ x cos x sin x] 2 8 œ � œ � œ � � � � ' ' ' 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 # # # $ ! 1 a b 8 œ 1 57. (a) A ln x dx x ln x dx œ œ � ' ' 1 1 e e ’ “ e 1 e ln e 1 ln 1 x e e 1 1 œ � � œ � � œ a b a b ’ “ e 1 (b) V ln x dx x ln x 2 ln x dx œ œ � ' ' 1 1 e e 1 1 a b a b Š ‹ ’ “ 2 2 e 1 e ln e 1 ln 1 2x ln x 2 dx œ � � � 1” • Š ‹ Š ‹ a b a b ’ “ 2 2 e 1 ' 1 e e 2e ln e 2 1 ln 1 2x œ � � � 1” • Š ‹ a b a b ’ “ e 1 e 2e 2e 2 e 2 œ � � � œ � 1 1 ” • a b a b a b (c) V 2 x 2 ln x dx 2 x 2 ln x dx 2 x 2x ln x x 2 dx œ � œ � œ � � � ' ' ' 1 1 1 e e e 1 1 1 a b a b Œ � ” • ˆ ‰ ˆ ‰ 1 1 2 2 2 e 1 2 e 2e ln e 2 ln 1 x 2x 2 e 2e e 2e e 9 œ � � � � � œ � � � � œ � 1 1 Œ � ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ” • ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ a b 1 1 1 1 1 9 2 2 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 e 1 1 (d) M ln x dx 1 (from part (a)); x x ln x dx x ln x x dx e ln e 1 ln 1 x œ œ œ œ � œ � � ' ' ' 1 1 1 e e e 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 4 2 2 2 e e 1 1 2 ” • ” • Š ‹ a b e e 1 e 1 ; y ln x dx x ln x 2 ln x dx œ � � œ � œ œ � 1 1 1 1 1 1 1 2 4 4 4 1 2 2 2 2 2 2 2 2 e 1 Š a b ‹ a b a b a b Œ � ” • ' ' 1 1 e e e ln e 1 ln 1 2x ln x 2 dx e 2e ln e 2 1 ln 2x œ � † � � œ � � " � 1 1 2 2 2 2 e 1 e 1 Œ � Š ‹ Š ‹ a b a b a b Œ � ” • Š ‹ a b ’ “ ' 1 e e 2e 2e 2 e 2 x y is the centroid. œ � � � œ � Ê ß œ ß 1 1 e 1 e 2 2 2 4 2 a b a b a b Š ‹ 2 � � 58. (a) A tan x dx x tan x dx œ œ � ' ' 0 0 1 1 � � � 1 1 1 0 x 1 x ” • 2 tan 1 0 ln 1 x œ � � � a b a b ” • �1 2 1 2 1 0 ln 2 ln 1 ln 2 œ � � œ � 1 1 4 2 4 2 1 1 a b (b) V 2 x tan x dx œ ' 0 1 1 �1 2 tan x dx œ � 1� � ” • x x 2 1 x 1 1 0 2 2 2 � " # � ' 0 1 2 tan 1 0 1 dx 2 x tan x 2 1 tan 1 0 0 œ � � � œ � � œ � � � � 1 1 1 Œ � ˆ ‰ ˆ ‰ � � ” • a b a b 1 1 2 1 x 8 8 1 1 1 1 0 � � � " " " # � # # ' 0 1 2 1 1 2 1 œ � � œ 1ˆ ‰ ˆ ‰ 1 1 1 1 8 4 2 2 " # a � b Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. 470 Chapter 8 Techniques of Integration 59. av(y) 2e cos t dt œ " #1 ' 0 2 t 1 � e œ " � # # ! 1 1 � ‘ ˆ ‰ �t sin t cos t (see Exercise 22) av(y) 1 e Ê œ � " #1 a b �21 60. av(y) 4e (sin t cos t) dt œ � " #1' 0 2 t 1 � e sin t dt e cos t dt œ � 2 2 1 1 ' ' 0 0 2 2 t t 1 1 � � e e œ � 2 sin t cos t sin t cos t 1 1 � ‘ ˆ ‰ ˆ ‰ � � t t � � � # # # ! e sin t 0 œ � œ 2 1 1 c d �t # ! 61. I x cos x dx; u x , du nx dx; dv cos x dx, v sin x œ œ œ œ œ ' n n n c d �" I x sin x nx sin x dx Ê œ � n n ' �" 62. I x sin x dx; u x , du nx dx; dv sin x dx, v cos x œ œ œ œ œ � ' n n n c d �" I x cos x nx cos x dx Ê œ � � n n ' �" 63. I x e dx; u x , du nx dx; dv e dx, v e œ œ œ œ œ ' n ax n n ax ax a � ‘ �" " I e x e dx, a Ê œ � Á ! x e n a a ax n ax n ax ' �" 64. I ln x dx; u ln x , du dx; dv dx, v x œ œ œ œ " œ ' a b a b ’ “ n n n ln x x a bn�" I x ln x n ln x dx Ê œ � a b a b n n ' �" 65. x a f x dx; u x a, du dx; dv f x dx, v f t dt f t dt ' ' ' a b x b x b a b a b a b a b a b ’ “ � œ � œ œ œ œ � x a f t dt f t dt dx b a f t dt a a f t dt f t dt dx œ � � œ � � � � � ” • a b a b a b a b a b a b a b a b Š ‹ Œ � Œ � ' ' ' ' ' ' ' b a b b b a x x b x b a b b a b 0 f t dt dx f t dt dx œ � œ ' ' ' ' a x a x b b b b Œ � Œ � a b a b 66. 1 x dx; u 1 x , du dx; dv dx, v x ' È È ’ “ � œ � œ œ œ 2 2 x 1 x � � È 2 x 1 x dx x 1 x dx x 1 x dx dx œ � � œ � � œ � � � È È È Š ‹ 2 2 2 x x x 1 x 1 x 1 x 1 x ' ' ' ' � " � � " " � " � � � � 2 2 2 2 2 2 2 È È È È x 1 x 1 x dx dx œ � � � � È È 2 2 1 x ' ' " � È 2 1 x dx x 1 x dx 1 x dx 2 1 x dx x 1 x dx Ê � œ � � � � Ê � œ � � ' ' ' ' ' È È È È È 2 2 2 2 2 1 x 1 x " " � � È È 2 2 1 x dx 1 x dx C Ê � œ � � � ' ' È È 2 2 x 1 2 2 1 x " � È 2 67. sin x dx x sin x sin y dy x sin x cos y C x sin x cos sin x C ' ' �" �" �" �" �" œ � œ � � œ � � a b 68. tan x dx x tan x tan y dy x tan x ln cos y C x tan x ln cos tan x C ' ' �" �" �" �" �" œ � œ � � œ � � k k k k a b Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. Section 8.2 Trigonometric Integrals 471 69. sec x dx x sec x sec y dy x sec x ln sec y tan y C ' ' �" �" �" œ � œ � � � k k x sec x ln sec sec x tan sec x C x sec x ln x x 1 C œ � � � œ � � � � �" �" �" �" # k k a b a b ¹ ¹ È 70. log x dx x log x 2 dy x log x C x log x C ' ' 2 2 2 2 y œ � œ � � œ � � 2 x ln ln y # # 71. Yes, cos x is the angle whose cosine is x which implies sin cos x 1 x . �" �" # a b œ È � 72. Yes, tan x is the angle whose tangent is x which implies sec tan x 1 x . �" �" # a b œ È � 73. (a) sinh x dx x sinh x sinh y dy x sinh x cosh y C x sinh x cosh sinh x C; ' ' �" �" �" �" �" œ � œ � � œ � � a b check: d x sinh x cosh sinh x C sinh x sinh sinh x dx c d a b a b ’ “ �" �" �" �" � � " � � œ � � x 1 x 1 x È È # # sinh x dx œ �" (b) sinh x dx x sinh x x dx x sinh x 1 x 2x dx ' ' ' �" �" �" # " " � # �"Î# œ � œ � � Š ‹ a b È1 x# x sinh x 1 x C œ � � � �" # "Î# a b check: d x sinh x 1 x C sinh x dx sinh x dx ’ “ ’ “ a b �" # �" �" "Î# � � � � � œ � � œ x x 1 x 1 x È È # # 74. (a) tanh x dx x tanh x tanh y dy x tanh x ln cosh y C x tanh x ln cosh tanh x C; ' ' �" �" �" �" �" œ � œ � � œ � � k k k k a b check: d x tanh x ln cosh tanh x C tanh x dx c d k k a b ’ “ �" �" �" � � " � � œ � � x 1 x cosh tanh x 1 x sinh tanh x # �" # �" a b a b tanh x dx tanh x dx œ � � œ � ‘ �" �" � � x x 1 x 1 x # # (b) tanh x dx x tanh x dx x tanh x dx x tanh x ln 1 x C ' ' ' �" �" �" �" # � # � # " " œ � œ � œ � � � x 2x 1 x 1 x # # k k check: d x tanh x ln 1 x C tanh x dx tanh x dx � ‘ � ‘ k k �" # �" �" " # � � � � � œ � � œ x x 1 x 1 x # # 8.2 TRIGONOMETRIC INTEGRALS 1. cos 2x dx cos 2x 2dx sin 2x C ' ' œ † œ � " " # # 2. 3 sin dx 9 sin dx 9 cos 9 cos cos 0 9 1 ' ' 0 0 1 1 1 1 x x 1 x 9 3 3 3 3 3 0 œ † œ � œ � � œ � � œ ’ “ ˆ ‰ ˆ ‰ " # # 3. cos x sin x dx cos x sin x dx cos x C ' ' 3 3 4 1 4 œ � � œ � � a b 4. sin 2x cos 2x dx sin 2x cos 2x 2dx sin 2x C ' ' 4 4 5 1 10 œ † œ � " # 5. sin x dx sin x sin x dx 1 cos x sin x dx sin x dx cos x sin x dx cos x cos x C ' ' ' ' ' a b 3 2 2 2 3 1 3 œ œ � œ � œ � � � 6. cos 4x dx cos 4x cos 4x dx 1 sin 4x cos 4x 4dx cos 4x 4dx sin 4x cos 4x 4dx ' ' ' ' ' a b 3 2 2 2 1 1 1 4 4 4 œ œ � † œ † � † sin 4x sin 4x C œ � � 1 1 4 12 3 7. sin x dx sin x sin x dx cos x sin x dx 2cos x cos x sin x dx ' ' ' ' 5 4 œ œ " � œ " � � a b a b a b # # # # # sin x dx 2cos x sin x dx cos x sin x dx cos x cos x cos x C œ � � œ � � � � ' ' ' # # 4 3 5 3 5 1 Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. 472 Chapter 8 Techniques of Integration 8. sin dx (using Exercise 7) sin dx 2cos sin dx cos sin dx ' ' ' ' 0 0 0 0 1 1 1 1 5 4 x x x x x x 2 2 2 2 2 2 ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ œ � � # cos cos cos œ �# � � œ ! � �# � � œ � ‘ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ a b x x x 2 3 2 5 2 3 5 % # % # "' $ & "& 1 0 9. cos x dx cos x cos x dx sin x cos x dx cos x dx sin x cos x dx sin x sin x C ' ' ' ' ' 3 3 1 3 œ œ " � œ � œ � � a b a b # # # 10. 3cos 3x dx cos 3x cos 3x 3dx sin 3x cos 3x 3dx sin 3x sin 3x cos 3x 3dx ' ' ' ' 0 0 0 0 /6 /6 /6 /6 5 1 1 1 1 œ † œ " � † œ " � # � † a b a b a b # # # % # # cos 3x 3dx sin 3x cos 3x 3dx sin 3x cos 3x 3dx sin 3x œ † � # † � † œ � # � ' ' ' 0 0 0 /6 /6 /6 sin 3x sin 3x 3 5 6 1 1 1 1 # % Î ’ “ 3 5 0 œ " � � � ! œ ˆ ‰ a b 2 $ & "& " ) 11. sin x cos x dx sin x cos x cos xdx sin x 1 sin x cos x dx sin x cos x dx sin x cos x dx ' ' ' ' ' 3 3 3 2 3 2 3 5 œ œ � œ � a b sin x sin x C œ � � 1 1 4 6 4 6 12. cos 2x sin 2x dx cos 2x sin 2x 2dx cos 2x cos 2x sin 2x 2dx 1 sin 2x sin 2x cos 2x 2dx ' ' ' ' 3 5 3 5 2 5 2 5 œ † œ † œ � † " " " # # # a b sin 2x cos 2x 2dx sin 2x cos 2x 2dx sin 2x sin 2x C œ † � † œ � � " " # # ' ' 5 7 6 8 1 1 12 16 13. cos x dx dx 1 cos 2x dx dx cos 2x dx dx cos 2x 2dx ' ' ' ' ' ' ' a b 2 1 cos 2x 2 4 œ œ � œ � œ � † � " " " " " # # # # x sin 2x C œ � � " " # 4 14. sin x dx dx 1 cos 2x dx dx cos 2x dx dx cos 2x 2dx ' ' ' ' ' ' ' a b 0 0 0 0 0 0 0 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 2 1 cos 2x 2 4 1 1 1 1 1 1 1 œ œ � œ � œ � † � " " " " " # # # # x sin 2x sin 2 0 sin 2 0 0 0 0 œ � œ � � � œ � � � œ � ‘ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b a b " " " " " " # # # Î 4 2 4 2 4 4 4 1 2 1 1 1 1 0 15. sin y dy sin y sin y dy cos y sin y dy sin y dy cos y sin y dy ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 /2 /2 /2 /2 /2 7 6 2 2 1 1 1 1 1 œ œ " � œ � $ a b $ cos y sin y dy cos y sin y dy cos y � $ � œ � � $ � $ � œ ! � �" � " � � œ ' ' 0 0 /2 /2 4 6 cos y cos y cos y 3 5 1 1 1 ’ “ a b ˆ ‰ 3 & ( ( & ( $& Î# $ " "' 0 16. 7cos t dt (using Exercise 15) 7 cos t dt sin t cos t dt sin t cos t dt sin t cos t dt ' ' ' ' ' 7 2 4 6 œ � $ � $ � ’ “ 7 sin t C 7sin t 7sin t sin t sin t C œ � $ � $ � � œ � � � � Š ‹ sin t sin t sin t 21 3 5 5 3 3 & ( ( & ( 17. sin x dx dx cos x cos x dx dx cos x dx dx ' ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ) œ ) œ # " � # # � # œ # � # # † # � # 4 cos x cos 4x ˆ ‰ a b " � # " � # # # # x sin x dx cos 4x dx x sin 4x œ # � # # � � œ # � � œ # � œ $ c d � ‘ 1 1 1 1 0 0 0 0 ' ' 1 1 1 1 " # 18. cos 2 x dx dx cos 4 x cos 4 x dx dx cos 4 x dx dx ' ' ' ' ' ' ) œ ) œ # " � # � œ # � % � # 4 cos 4 x cos x 1 1 1 1 ˆ ‰ a b " � " � ) # # # # 1 1 3 dx cos 4 x dx cos x dx 3x sin 4 x sin x C œ � % � ) œ � � ) � ' ' ' 1 1 1 1 " " ) 1 1 19. 16 sin x cos x dx 16 dx cos 2x dx dx dx ' ' ' ' ' # # # " � # " � # " � # # œ œ % " � œ % � % ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ a b cos x cos x cos 4x 2 4x 2 dx 2 cos 4x dx 4x 2x sin 4x C 2x sin 4x C 2x sin 2x cos 2x C œ � � œ � � � œ � � œ � � ' ' " " 2 2 2x 2sin x cos x 2cos x 1 C 2x 4sin x cos x 2sin x cos x C œ � � � œ � � � a b 2 3 Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. Section 8.2 Trigonometric Integrals 473 20. 8 sin y cos y dy 8 dy dy cos y dy cos y dy cos y dy ' ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 4 cos y cos y # # $ " � # " � # # # # œ œ � # � # � # ˆ ‰ ˆ ‰ y sin 2y dy sin y cos y dy dy cos 4y dy cos y dy œ � � � " � # # œ � � � # � ‘ ˆ ‰ a b " " " " � # # # # 2 cos 4y 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ' ' ' ' ' 1 sin y cos y dy y sin 4y sin 2y � # # œ � � � � � † œ � œ ' 0 0 1 1 1 1 # " " " " # ) # # # # 1 1 ’ “ sin 2y 3 3 21. 8cos 2 sin 2 d 8 C cos 2 C ' 3 4 cos 2 4 ) ) ) ) œ � � œ � � ˆ " ‰ # 4 ) 22. sin 2 cos 2 d sin 2 sin 2 cos 2 d sin 2 cos 2 d sin 2 cos 2 d ' ' ' ' 0 0 0 0 1 1 1 1 /2 /2 /2 /2 2 3 2 2 2 4 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) œ " � œ � a b œ † � † œ ! ’ “ " " # # sin 2 sin 2 3 5 /2 3 5 ) ) 1 0 23. dx sin dx sin dx cos ' ' ' 0 0 0 0 2 2 2 cos x x x x 2 1 1 1 1 É ¹ ¹ � ‘ " � # # # # œ œ œ �# œ # � # œ % 24. cos 2x dx sin 2x dx sin 2x dx cos 2x ' ' ' 0 0 0 0 1 1 1 1 È È È È È È È ’ “ " � œ # l l œ # œ � # œ # � # œ # # 25. sin t dt cos t dt cos t dt cos t dt sin t sin t ' ' ' ' 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 È c d c d " � œ l l œ � œ � œ " � ! � ! � " œ # # /2 /2 /2 /2 26. cos d sin d sin d cos ' ' ' 0 0 0 0 1 1 1 1 È c d " � œ l l œ œ � œ " � " œ # #) ) ) ) ) ) ) 27. dx dx dx dx ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 Î Î Î Î Î Î Î Î " � " � " � " � " � " � " � 3 3 3 3 2 2 2 2 sin x sin x cos x cos x cos x sin x cos x sin x cos x cos x cos x sin x 2 2 2 2 2 2 È È È È È È È È œ œ œ sin x cos x dx cos x cos cos œ " � œ � " � œ � " � � " � œ � � ' 1 1 1 1 1 1 Î Î Î Î Î Î Î Î 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 È ’ “ a b ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ œ É 3 � 2 2 3 28. sin x dx dx dx dx dx ' ' ' ' ' 0 0 0 0 0 6 6 6 6 6 sin x 1 sin x sin x sin x sin x sin x sin x cos x cos x 1 1 1 1 1 Î Î Î Î Î " � " � " � " � " � " � " � È" � œ œ œ œ È È È È È È È È 2 2 2 sin x 2 sin 2 sin 0 2 2 1 2 2 œ � " � œ � " � � " � œ � � œ � ’ “ a b É ˆ ‰ È É È È 1 2 0 6 6 1 Î Î # 1 1 29. dx dx dx dx ' ' ' ' 5 6 5 6 5 6 5 6 cos x cos x sin x sin x sin x cos x sin x cos x sin x sin x sin x cos x 1 1 1 1 1 1 1 1 Î Î Î Î " � " � " � " � " � " � " � 4 4 4 4 2 2 È È È È È È È È œ œ œ dx cos x sin x dx cos x sin x sin x dx œ œ � " � œ � " � " � ' ' ' 5 6 5 6 5 6 cos x sin x cos x 3 2 1 1 1 1 1 1 Î Î Î " � � 4 È È È a b cos x sin x dx cos x sin x sin x dx; u u du œ � " � � " � ' ' 5 6 5 6 2 2 1 1 1 1 Î Î È È È Let u 1 sin x u 1 sin x du cos x dx, x u 1 sin , x u 1 sin 1 ’ “ ˆ ‰ œ � Ê � œ Ê œ œ Ê œ � œ œ Ê œ � œ 5 5 3 6 6 2 1 1 1 1 sin x u 1 u du sin x u 2u u du œ � " � � � œ � " � � � � ’ “ ’ “ a b a b a b È È ˆ ‰ 2 2 3 3 3 2 2 3 2 5 6 5 6 3 2 3 2 1 1 5 2 3 2 Î Î Î Î Î Î Î Î 1 1 1 1 ' ' sin sin u u u œ � " � � " � � � � Š ‹ a b ˆ ‰ � ‘ ˆ ‰ 2 2 5 2 4 2 3 3 6 7 5 3 3 2 3 2 7 2 5 2 3 2 3 2 1 1 Î Î Î Î Î Î 1 œ � � � � � � � � œ � � Š ‹ Š ‹ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ 2 2 3 2 4 2 2 3 4 3 2 3 4 3 2 3 18 3 3 2 7 5 3 7 2 5 2 3 2 5 2 7 2 35 3 2 7 2 5 2 3 2 5 2 7 2 Î Î Î Î Î Î 30. 1 sin 2x dx dx dx dx ' ' ' ' 1 1 1 1 1 1 1 1 Î Î Î Î Î Î Î Î � � � � � � 2 2 2 2 7 12 7 12 7 12 7 12 1 sin 2x 1 1 sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x 1 sin 2x cos 2x È � œ œ œ È È È È È È È 2 2 dx 1 sin 2x 1 sin 2 1 sin 2 1 1 œ œ � � œ � � � � œ � � œ � œ ' 1 1 1 1 1 1 Î Î � " � Î Î # � 2 7 12 cos 2x 7 1 1 sin 2x 2 7 12 12 2 2 2 2 1 È È È È ’ “ È É É É ˆ ‰ ˆ ‰ Copyright © 2010 Pearson Education, Inc. Publishing as Addison-Wesley. 474 Chapter 8 Techniques of Integration 31. cos 2 d sin d sin d cos sin ' ' ' 0 0 0 0 1 1 1 1 /2 /2 /2 /2 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) È È È È È È c d a b " � œ # l l œ # œ # � � œ # " œ # 32. cos t dt sin t dt sin t dt sin t dt sin t dt cos t sin t dt ' ' ' ' ' ' � � � � ! � # # $ $ $ # $Î# $Î# ! ! 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b a b a b ¸ ¸ " � œ œ œ � � œ � " � cos t sin t dt sin t dt cos t sin t dt sin t dt cos t sin t dt cos t � " � œ � � � � œ � ' ' ' ' ' ! � � ! ! # # # ! ! ! � 1 1 1 1 1 1 a b ’ “ cos t 3 3 � �cos t � œ " � � " � � " � � " � œ ’ “ ˆ ‰ ˆ ‰ cos t 3 3 1 ! 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