MATH 201 Problems Solution Chapter 16, Fall 2008

CHAPTER 16 INTEGRATION IN VECTOR FIELDS 16.1 LINE INTEGRALS 1. t ( t) x t and y 1 t y 1 x (c) r i j œ � " � Ê œ œ � Ê œ � Ê 2. t x 1, y 1, and z t (e) r i j œ � � k Ê œ œ œ Ê 3. (2 cos t) (2 sin t) x 2 cos t and y 2 sin t x y 4 (g) r i j œ � Ê œ œ Ê � œ Ê # # 4. t x t, y 0, and z 0 (a) r œ i Ê œ œ œ Ê 5. t t t x t, y t, and z t (d) r i j k œ � � Ê œ œ œ Ê 6. t (2 2t) y t and z 2 2t z 2 2y (b) r j k œ � � Ê œ œ � Ê œ � Ê 7. t 1 2t y t 1 and z 2t y 1 (f) r j k œ � � Ê œ � œ Ê œ � Ê a b # # z 4 # 8. (2 cos t) (2 sin t) x 2 cos t and z 2 sin t x z 4 (h) r i k œ � Ê œ œ Ê � œ Ê # # 9. (t) t (1 t) , 0 t 1 2 ; x t and y 1 t x y t ( t) 1 r i j i j j œ � � Ÿ Ÿ Ê œ � Ê œ œ œ � Ê � œ � " � œ d d dt dt r ¸ r ¸ È f(x y z) ds f(t 1 t 0) dt (1) 2 dt 2 t 2 Ê ß ß œ ß � ß œ œ œ ' ' ' C 0 0 1 1 ¸ ¸ Š ‹ ’ “ È È È d dt r " ! 10. (t) t (1 t) , 0 t 1 2; x t, y 1 t, and z 1 x y z 2 r i j k i j œ � � � Ÿ Ÿ Ê œ � Ê œ œ œ � œ Ê � � � d d dt dt r ¸ r ¸ È t (1 t) 1 2 2t 2 f(x y z) ds (2t 2) 2 dt 2 t 2t 2 œ � � � � œ � Ê ß ß œ � œ � œ � ' ' C 0 1 È È È c d # " ! 11. (t) 2t t (2 2t) , 0 t 1 2 2 4 1 4 3; xy y z r i j k i j k œ � � � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ � � œ � � d d dt dt r ¸ r ¸ È (2t)t t (2 2t) f(x y z) ds 2t t 2 3 dt 3 t t 2t 3 2 œ � � � Ê ß ß œ � � œ � � œ � � œ ' ' C 0 1 a b � ‘ ˆ ‰ # $ # " " # # # " ! 2 2 13 3 3 12. (t) (4 cos t) (4 sin t) 3t , 2 t 2 ( 4 sin t) (4 cos t) 3 r i j k i j k œ � � � Ÿ Ÿ Ê œ � � � 1 1 d dt r 16 sin t 16 cos t 9 5; x y 16 cos t 16 sin t 4 f(x y z) ds (4)(5) dt Ê œ � � œ � œ � œ Ê ß ß œ ¸ ¸ È È È d dt r # # # # # # ' ' C 2 2 � 1 1 20t 80 œ œ c d # �# 1 1 1 13. (t) ( 2 3 ) t( 3 2 ) (1 t) (2 3t) (3 2t) , 0 t 1 3 2 r i j k i j k i j k i j k œ � � � � � � œ � � � � � Ÿ Ÿ Ê œ � � � d dt r 1 9 4 14 ; x y z (1 t) (2 3t) (3 2t) 6 6t f(x y z) ds Ê œ � � œ � � œ � � � � � œ � Ê ß ß ¸ ¸ È È d dt r ' C (6 6t) 14 dt 6 14 t 6 14 3 14 œ � œ � œ œ ' 0 1 È È È È ’ “ Š ‹ ˆ ‰ t 2 # " ! " # 14. (t) t t t , 1 t 3 ; r i j k i j k œ � � Ÿ Ÿ _ Ê œ � � Ê œ œ œ d d dt dt x y z t t t 3t 3 3 3 r ¸ r ¸ È È È È # # # # # # # � � � � f(x y z) ds 3 dt lim 1 1 Ê ß ß œ œ � œ � � œ ' ' C 1 _ Š ‹ È � ‘ ˆ ‰ È3 3t t b 1 # _ " " b Ä _ Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley 998 Chapter 16 Integration in Vector Fields 15. C : (t) t t , 0 t 1 2t 1 4t ; x y z t t 0 t t 2t " # # # # r i j i j œ � Ÿ Ÿ Ê œ � Ê œ � � � œ � � œ � œ d d dt dt r ¸ r ¸ È È È k k since t 0 f(x y z) ds 2t 1 4t dt 4t (5) 5 5 1 ; Ê ß ß œ � œ " � œ � œ � ' ' C 0 1 " È ’ “ Š ‹ a b È # " " " " # $Î# $Î# " ! 6 6 6 6 C : (t) t , 0 t 1 1; x y z 1 1 t 2 t # # # # r i j k k œ � � Ÿ Ÿ Ê œ Ê œ � � œ � � œ � d d dt dt r ¸ r ¸ È È f(x y z) ds 2 t (1) dt 2t t 2 ; therefore f(x y z) ds Ê ß ß œ � œ � œ � œ ß ß ' ' ' C 0 C 1 # a b � ‘ # $ " " " ! 3 3 3 5 f(x y z) ds f(x y z) ds 5 œ ß ß � ß ß œ � ' ' C C " # 5 3 6 È # 16. C : (t) t , 0 t 1 1; x y z 0 0 t t " # # # r k k œ Ÿ Ÿ Ê œ Ê œ � � œ � � œ � d d dt dt r ¸ r ¸ È È f(x y z) ds t (1) dt ; Ê ß ß œ � œ � œ � ' ' C 0 1 " a b ’ “ # " ! " t 3 3 $ C : (t) t , 0 t 1 1; x y z 0 t 1 t 1 # # r j k j œ � Ÿ Ÿ Ê œ Ê œ � � œ � � œ � d d dt dt r ¸ r ¸ È È È f(x y z) ds t 1 (1) dt t t 1 ; Ê ß ß œ � œ � œ � œ � ' ' C 0 1 # ˆ ‰ � ‘ È 2 2 3 3 3 $Î# " ! " C : (t) t , 0 t 1 1; x y z t 1 1 t $ # r i j k i œ � � Ÿ Ÿ Ê œ Ê œ � � œ � � œ d d dt dt r ¸ r ¸ È È f(x y z) ds (t)(1) dt f(x y z) ds f ds f ds f ds Ê ß ß œ œ œ Ê ß ß œ � � œ � � � � ' ' ' ' ' ' C 0 C C C C 1 $ " # $ ’ “ ˆ ‰ t 2 3 3 # " ! " " " " # # œ � " 6 17. (t) t t t , 0 a t b 3 ; r i j k i j k œ � � � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ œ œ d d t t t 1 dt dt x y z t t t t x y z r ¸ r ¸ È � � � � � � � � # # # # # # f(x y z) ds 3 dt 3 ln t 3 ln , since 0 a b Ê ß ß œ œ œ � Ÿ ' ' C a b b a ˆ ‰ ˆ ‰ È È È ’ k k “ 1 b t a 18. (t) (a cos t) (a sin t) , 0 t 2 ( a sin t) (a cos t) a sin t a cos t a ; r j k j k œ � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ � œ 1 d d dt dt r ¸ r ¸ È k k # # # # x z 0 a sin t f(x y z) ds a sin t dt a sin t dt a sin t, 0 t a sin t, t 2 � � œ � � œ Ê ß ß œ � � � Ÿ Ÿ Ÿ Ÿ È È œ k k k k k k k k # # # # # # 1 1 1 ' ' ' C 0 2 1 1 1 a cos t a cos t a ( 1) a a a ( 1) 4a œ � œ � � � � � œ � c d c d c d c d # # # # # # # ! # 1 1 1 19. (x) x y x , 0 x 2 x 1 x ; f(x y) f x 2x f ds r i j i j i j œ � œ � Ÿ Ÿ Ê œ � Ê œ � ß œ ß œ œ Ê x d d x x dx dx # # $ # # # r ¸ r ¸ È Š ‹ Š ‹ x# # ' C (2x) 1 x dx 1 x 5 1 œ � œ � œ � œ ' 0 2 È ’ “ a b ˆ ‰ # # $Î# $Î# # ! � 2 2 3 3 3 10 5 2 È 20. (t) 1 t 1 t , 0 t 1 1 1 t ; f(x y) f 1 t 1 t r i j œ � � � Ÿ Ÿ Ê œ � � ß œ � ß � œ a b a b a b a b a b ¸ ¸ É Š ‹ 1 d 1 2 2 dt 1 t 1 t 1 1 t # # # � � � � � r a b a b É a b 1 4 4 # f ds 1 1 t dt 1 t 1 t dt 1 t 1 t Ê œ � � œ � � � œ � � � � ' ' ' C 0 0 1 1 a b a b É a b 1 t 1 t 1 1 t 1 1 4 20 4 2 5 � � � � � # " # " ! 1 4 4 # É a b a b a b a b a b Š ‹ ’ “ œ 0 � � � œ ˆ ‰ " " # # # 0 0 11 21. (t) (2 cos t) (2 sin t) , 0 t ( 2 sin t) (2 cos t) 2; f(x y) f(2 cos t 2 sin t) r i j i j œ � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ ß œ ß 1 # d d dt dt r ¸ r ¸ 2 cos t 2 sin t f ds (2 cos t 2 sin t)(2) dt 4 sin t 4 cos t 4 ( 4) 8 œ � Ê œ � œ � œ � � œ ' ' C 0 1Î2 c d 1Î# ! 22. (t) (2 sin t) (2 cos t) , 0 t (2 cos t) ( 2 sin t) 2; f(x y) f(2 sin t 2 cos t) r i j i j œ � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ ß œ ß 1 4 dt dt d d r ¸ r ¸ 4 sin t 2 cos t f ds 4 sin t 2 cos t (2) dt 4t 2 sin 2t 4 sin t œ � Ê œ � œ � � # # Î% ' ' C 0 4 0 1Î a b c d 1 2 1 2 œ � � 1 Š ‹ È Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley Section 16.1 Line Integrals 999 23. (t) t 1 2t , 0 t 1 2t 2 2 t 1; M (x y z) ds (t) 2 t 1 dt r j k j k œ � � Ÿ Ÿ Ê œ � Ê œ � œ ß ß œ � a b ¸ ¸ È Š È ‹ # # # d d dt dt r r ' ' C 0 1 $ $ t 2 t 1 dt t 1 2 1 2 2 1 œ � œ � œ � œ � ' 0 1ˆ ‰ Š ‹ ’ “ È È a b 3 3/2 # # # $Î# " ! 24. (t) t 1 2t , 1 t 1 2t 2 r j k j k œ � � � Ÿ Ÿ Ê œ � a b # d dt r 2 t 1; M (x y z) ds Ê œ � œ ß ß ¸ ¸ È ' d dt r # C $ 15 t 1 2 2 t 1 dt œ � � � ' �1 1 ˆ ‰ Èa b Š ‹ È # # 30 t 1 dt 30 t 60 1 80; œ � œ � œ � œ ' �1 1 a b ’ “ Š ‹ ˆ ‰ # " �" " t 3 3 $ M y (x y z) ds t 1 30 t 1 dt xz C 1 1 œ ß ß œ � � ' ' $ � a b c d a b # # 30 t 1 dt 30 t 60 1 œ � œ � œ � ' �1 1 a b ’ “ Š ‹ ˆ ‰ % " �" " t 5 5 & 48 y ; M x (x y z) ds 0 ds 0 x 0; z 0 by symmetry (since is œ � Ê œ œ � œ � œ ß ß œ œ Ê œ œ M M 80 5 48 3 yz xz ' ' C C $ $ $ independent of z) (x y z) 0 Ê ß ß œ !ß � ß ˆ ‰ 3 5 25. (t) 2t 2t 4 t , 0 t 1 2 2 2t 2 2 4t 2 1 t ; r i j k i j k œ � � � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ � � œ � È È È È È È a b ¸ ¸ # # # d d dt dt r r (a) M ds (3t) 2 1 t dt 2 1 t 2 2 1 4 2 2 œ œ � œ � œ � œ � ' ' C 0 1 $ Š ‹ ’ “ È È a b ˆ ‰ # # $Î# $Î# " ! (b) M ds (1) 2 1 t dt t 1 t ln t 1 t 2 ln 1 2 (0 ln 1) œ œ � œ � � � � œ � � � � ' ' C 0 1 $ Š ‹ ’ “ ’ “ È È È È È Š ‹ Š ‹ # # # " ! 2 ln 1 2 œ � � È È Š ‹ 26. (t) t 2t t , 0 t 2 2 t 1 4 t 5 t; r i j k i j k œ � � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ � � œ � 2 d d 3 dt dt $Î# "Î# r ¸ r ¸ È È M ds 3 5 t 5 t dt 3(5 t) dt (5 t) 7 5 (24) 36; œ œ � � œ � œ � œ � œ œ ' ' ' C 0 0 2 2 $ ˆ ‰ ˆ ‰ � ‘ È È a b 3 3 3 2 # # # # ! # # M x ds t[3(5 t)] dt 15t 3t dt t t 30 8 38; yz 5 2 œ œ � œ � œ � œ � œ ' ' ' C 0 0 2 2 $ a b � ‘ # # $ " # ! M y ds 2t[3(5 t)] dt 2 15t 3t dt 76; M z ds t [3(5 t)] dt xz xy 2 3 œ œ � œ � œ œ œ � ' ' ' ' ' C 0 0 C 0 2 2 2 $ $ a #b $Î# 10t 2t dt 4t t 4(2) (2) 16 2 2 2 x œ � œ � œ � œ � œ Ê œ ' 0 2ˆ ‰ � ‘ È È È $Î# &Î# &Î# (Î# &Î# (Î# # ! 4 4 32 144 7 7 7 7 M Myz , y , and z 2 œ œ œ œ œ œ œ œ 38 19 76 19 4 36 18 M 36 9 M 7 36 7 M M 144 2 xz xy È † È 27. Let x a cos t and y a sin t, 0 t 2 . Then a sin t, a cos t, 0 œ œ Ÿ Ÿ œ � œ œ 1 dx dz dt dt dt dy dt a dt; I x y ds a sin t a cos t a dt Ê � � œ œ � œ � ʈ ‰ ˆ ‰ Š ‹ a b a b dx dz dt dt dt dy z # # # # # # # # # ' ' C 0 2 $ $ 1 a dt 2 a ; M (x y z) ds a dt 2 a R a. œ œ œ ß ß œ œ Ê œ œ œ ' ' ' 0 C 0 2 2 1 1 $ $ $ 1$ $ $ 1$ z I M 2 a 2 a É É z 1 $ 1 $ $ 28. (t) t (2 2t) , 0 t 1 2 5; M ds 5 dt 5; r j k j k œ � � Ÿ Ÿ Ê œ � Ê œ œ œ œ d d dt dt r ¸ r ¸ È È È ' ' C 0 1 $ $ $ I y z ds t (2 2t) 5 dt 5t 8t 4 5 dt 5 t 4t 4t 5 ; x 5 5 3 3 œ � œ � � œ � � œ � � œ ' ' ' C 0 0 1 1 a b c d a b È È È È � ‘ # # # # # $ # " ! $ $ $ $ $ I x z ds 0 (2 2t) 5 dt 4t 8t 4 5 dt 5 t 4t 4t 5 ; y 4 4 3 3 œ � œ � � œ � � œ � � œ ' ' ' C 0 0 1 1 a b c d a b È È È È � ‘ # # # # # $ # " ! $ $ $ $ $ I x y ds 0 t 5 dt 5 5 R , R , z C 0 1 œ � œ � œ œ Ê œ œ œ œ œ ' ' a b a b È È È ’ “ É É É É # # # # " ! " $ $ $ $ t 5 4 2 3 3 M 3 M 3 x y I I 3 $ x y È and Rz I M 3 œ œ É z " È Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley 1000 Chapter 16 Integration in Vector Fields 29. (t) (cos t) (sin t) t , 0 t 2 ( sin t) (cos t) sin t cos t 1 2; r i j k i j k œ � � Ÿ Ÿ Ê œ � � � Ê œ � � œ 1 d d dt dt r ¸ r ¸ È È # # (a) M ds 2 dt 2 2; I x y ds cos t sin t 2 dt 2 2 œ œ œ œ � œ � œ ' ' ' ' C 0 C 0 2 2 z $ $ 1$ $ $ 1$ 1 1 È È È È a b a b # # # # R 1 Ê œ œ z I ÉM z (b) M (x y z) ds 2 dt 4 2 and I x y ds 2 dt 4 2 œ ß ß œ œ œ � œ œ ' ' ' ' C 0 C 0 4 4 z $ $ 1$ $ $ 1$ 1 1 È È È È a b # # R 1 Ê œ œ z I ÉM z 30. (t) (t cos t) (t sin t) t , 0 t 1 (cos t t sin t) (sin t t cos t) 2t r i j k i j k œ � � Ÿ Ÿ Ê œ � � � � 2 2 3 dt d È $Î# r È (t 1) t 1 for 0 t 1; M ds (t 1) dt (t 1) 2 1 ; Ê œ � œ � Ÿ Ÿ œ œ � œ � œ � œ ¸ ¸ � ‘ È a b d 3 dt 2 r # " " # # # " ! # # ' ' C 0 1 $ M z ds t (t 1) dt t t dt t t xy 2 2 2 2 2 2 3 3 3 7 5 2 2 œ œ � œ � œ � ' ' ' C 0 0 1 1 $ Š ‹ ˆ ‰ � ‘ È È È $Î# &Î# $Î# (Î# &Î# " ! z ; I x y ds œ � œ œ Ê œ œ œ œ � 2 2 2 2 16 2 16 2 32 2 3 7 5 3 35 35 M 35 3 105 2 2 24 2 M z È È È È È ˆ ‰ ˆ ‰ ˆ ‰ Š ‹ a b xy ' C # # $ t cos t t sin t (t 1) dt t t dt R œ � � œ � œ � œ � œ Ê œ œ ' ' 0 0 1 1 a b a b ’ “ É É # # # # $ # " ! " " t t 7 7 4 3 4 3 12 M 18 z I % $ z 31. (x y z) 2 z and (t) (cos t) (sin t) , 0 t M 2 2 as found in Example 4 of the text; $ 1 1 ß ß œ � œ � Ÿ Ÿ Ê œ � r j k also 1; I y z ds cos t sin t (2 sin t) dt (2 sin t) dt 2 2 R ¸ ¸ a b a b É d dt M x x I r œ œ � œ � � œ � œ � Ê œ ' ' ' C 0 0 # # # # $ 1 1 1 x 1 œ 32. (t) t t , 0 t 2 2 t t 1 2t t (1 t) 1 t for r i j k i j k œ � � Ÿ Ÿ Ê œ � � Ê œ � � œ � œ � 2 2 3 dt dt t d d È $Î# "Î# # # # # r r È È ¸ ¸ È 0 t 2; M ds (1 t) dt dt 2; M x ds t (1 t) dt 2; Ÿ Ÿ œ œ � œ œ œ œ � œ œ ' ' ' ' ' C 0 0 C 0 2 2 2 yz $ $ ˆ ‰ ˆ ‰ ’ “ " " � � # ! t 1 t 1 2 t# M y ds t dt t ; M z ds dt x 1, xz 2 2 4 2 3 15 15 6 3 M 32 t t M œ œ œ œ œ œ œ œ Ê œ œ ' ' ' ' C 0 C 0 2 2 xy $ $ È È $Î# &Î# # # ! ! # % ’ “ ’ “ # $ yz y , and z ; I y z ds t t dt t ; œ œ œ œ œ � œ � œ � œ � œ M M 15 M 3 9 4 9 20 9 20 45 16 8 2 t 32 32 232 M x xz xy # " # # $ % % # ! ' ' C 0 2 a b ˆ ‰ ’ “ $ & I x z ds t t dt ; I x y ds y z C 0 C 2 œ � œ � œ � œ � œ œ � ' ' ' a b a b ˆ ‰ ’ “ # # # % # # " # ! $ $ 4 3 20 3 20 15 t t 8 32 64 $ & t t dt t R , R , and œ � œ � œ � œ Ê œ œ œ œ ' 0 2ˆ ‰ ’ “ É É É É # $ % # ! 8 t 2 8 32 56 2 29 32 9 3 9 3 9 9 M 3 5 M 15 x y I I $ x y R 7 z I M 3 2 œ œ É È z 33-36. Example CAS commands: : Maple f := (x,y,z) -> sqrt(1+30*x^2+10*y); g := t -> t; h := t -> t^2; k := t -> 3*t^2; a,b := 0,2; ds := ( D(g)^2 + D(h)^2 + D(k)^2 )^(1/2): # (a) 'ds' = ds(t)*'dt'; F := f(g,h,k): # (b) 'F(t)' = F(t); Int( f, s=C..NULL ) = Int( simplify(F(t)*ds(t)), t=a..b ); # (c) `` = value(rhs(%)); : (functions and domains may vary) Mathematica Clear[x, y, z, r, t, f] f[x_,y_,z_]:= Sqrt[1 30x 10y] � � 2 Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley Section 16.2 Vector Fields, Work, Circulation, and Flux 1001 {a,b}= {0, 2}; x[t_]:= t y[t_]:= t2 z[t_]:= 3t2 r[t_]:= {x[t], y[t], z[t]} v[t_]:= D[r[t], t] mag[vector_]:=Sqrt[vector.vector] Integrate[f[x[t],y[t],z[t]] mag[v[t]], {t, a, b}] N[%] 16.2 VECTOR FIELDS, WORK, CIRCULATION, AND FLUX 1. f(x y z) x y z x y z (2x) x x y z ; similarly, ß ß œ � � Ê œ � � � œ � � � a b a b a b # # # # # # # # # �"Î# �$Î# �$Î# ` " ` # f x y x y z and z x y z f ` ` ` ` # # # # # # �$Î# �$Î# � � � � � f f y z x y z x y z œ � � � œ � � � Ê œ a b a b ™ i j k a b # # # $Î# 2. f(x y z) ln x y z ln x y z (2x) ; ß ß œ � � œ � � Ê œ œ È a b Š ‹ # # # " ` " " # ` # � � � � # # # f x x x y z x y z # # # # # # similarly, and f ` ` ` � � ` � � � � � � f f z y x y z z x y z x y z y x y z œ œ Ê œ # # # # # # # # # ™ i j k 3. g(x y z) e ln x y , and e ß ß œ � � Ê œ � œ � œ z z g g 2y g x x y y x y z 2x a b # # ` ` ` ` � ` � ` # # # # g e Ê œ � � ™ Š ‹ Š ‹ � � � 2x x y x y 2y # # # # i j k z 4. g(x y z) xy yz xz y z, x z, and y x g (y z) ( z) (x y) ß ß œ � � Ê œ � œ � œ � Ê œ � � B � � � ` ` ` ` ` ` g g g x y z ™ i j k 5. inversely proportional to the square of the distance from (x y) to the origin (M(x y)) (N(x y)) k k È F ß Ê ß � ß # # , k 0; points toward the origin is in the direction of œ � Ê œ � k x x y x y x y y # # # # # # � � � � F F n i j È È a , for some constant a 0. Then M(x y) and N(x y) Ê œ � ß œ ß œ F n � � � � ax x y x y ay È È # # # # (M(x y)) (N(x y)) a a , for any constant k 0 Ê ß � ß œ Ê œ Ê œ � � È # # � � � � k kx x y x y x y ky # # # # # # $Î# $Î# F i j a b a b 6. Given x y a b , let x a b cos t and y a b sin t. Then # # # # # # # # � œ � œ � œ � � È È a b cos t a b sin t traces the circle in a clockwise direction as t goes from 0 to 2 r i j œ � � � Š ‹ Š ‹ È È # # # # 1 a b sin t a b cos t is tangent to the circle in a clockwise direction. Thus, let Ê œ � � � � v i j Š ‹ Š ‹ È È # # # # y x and (0 0) . F v F i j F 0 œ Ê œ � ß œ 7. Substitute the parametric representations for (t) x(t) y(t) z(t) representing each path into the vector r i j k œ � � field , and calculate the work W . F F œ ' C † d dt r (a) 3t 2t 4t and 9t W 9t dt F i j k i j k F œ � � œ � � Ê œ Ê œ œ d d 9 dt dt r † r ' 0 1 # (b) 3t 2t 4t and 2t 4t 7t 16t W 7t 16t dt t 2t F i j k i j k F œ � � œ � � Ê œ � Ê œ � œ � # % $ # ( # ( $ ) " ! d d 7 dt dt 3 r † r ' 0 1 a b � ‘ 2 œ � œ 7 13 3 3 (c) t t and t ; 3t 2t and 5t W 5t dt ; r i j r i j k F i j i j F " # " " " # œ � œ � � œ � œ � Ê œ Ê œ œ d d dt dt 5 r r " † " ' 0 1 3 2 4t and 4t W 4t dt 2 W W W F i j k k F # # # " # # œ � � œ Ê œ Ê œ œ Ê œ � œ d d dt dt 9 r r # † # ' 0 1 Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley 1002 Chapter 16 Integration in Vector Fields 8. Substitute the parametric representation for (t) x(t) y(t) z(t) representing each path into the vector r i j k œ � � field , and calculate the work W . F F œ ' C † d dt r (a) and W dt tan t F j i j k F œ œ � � Ê œ Ê œ œ œ ˆ ‰ c d " " " � � � �" " ! t 1 dt dt t 1 t 1 4 d d # # # r † r ' 0 1 1 (b) and 2t 4t W dt ln t 1 ln 2 F j i j k F œ œ � � Ê œ Ê œ œ � œ ˆ ‰ c d a b " � � � $ # " ! t 1 dt dt t 1 t 1 d d 2t 2t # # # r † r ' 0 1 (c) t t and t ; and ; and r i j r i j k F j i j F F j k " # " " # " " " � � # œ � œ � � œ œ � Ê œ œ œ ˆ ‰ t 1 dt dt t 1 dt d d d # # " " # r r r † 0 W dt Ê œ Ê œ œ F# " � † d dt t 1 4 r# # ' 0 1 1 9. Substitute the parametric representation for (t) x(t) y(t) z(t) representing each path into the vector r i j k œ � � field , and calculate the work W . F F œ ' C † d dt r (a) t 2t t and 2 t 2t W 2 t 2t dt t t F i j k i j k F œ � � œ � � Ê œ � Ê œ � œ � œ È È È ˆ È ‰ � ‘ d d 4 dt dt 3 3 r † r ' 0 1 $Î# # " ! " (b) t 2t t and 2t 4t 4t 3t W 4t 3t dt t t F i j k i j k F œ � � œ � � Ê œ � Ê œ � œ � œ � # $ % # % # & $ " ! " d d 4 dt dt 5 5 r † r ' 0 1 a b � ‘ (c) t t and t ; 2t t and 2t W 2t dt r i j r i j k F j k i j F " # " " " œ � œ � � œ � � œ � Ê œ � Ê œ � È d d dt dt r r " † " ' 0 1 1; t 2 and 1 W dt 1 W W W 0 œ � œ � � œ Ê œ Ê œ œ Ê œ � œ F i j k k F # # # " # È d d dt dt r r # † # ' 0 1 10. Substitute the parametric representation for (t) x(t) y(t) z(t) representing each path into the vector r i j k œ � � field , and calculate the work W . F F œ ' C † d dt r (a) t t t and 3t W 3t dt 1 F i j k i j k F œ � � œ � � Ê œ Ê œ œ # # # # # d d dt dt r † r ' 0 1 (b) t t t and 2t 4t t 2t 4t W t 2t 4t dt F i j k i j k F œ � � œ � � Ê œ � � Ê œ � � $ ' & $ $ ( ) $ ( ) d d dt dt r † r ' 0 1 a b t œ � � œ ’ “ t t 4 17 4 4 9 18 % ) * " ! (c) t t and t ; t and t W t dt ; r i j r i j k F i i j F " # " " " # # # " œ � œ � � œ œ � Ê œ Ê œ œ d d dt dt 3 r r " † " ' 0 1 t t and t W t dt W W W F i j k k F # # # " # " # œ � � œ Ê œ Ê œ œ Ê œ � œ d d dt dt 6 5 r r # † # ' 0 1 11. Substitute the parametric representation for (t) x(t) y(t) z(t) representing each path into the vector r i j k œ � � field , and calculate the work W . F F œ ' C † d dt r (a) 3t 3t 3t and 3t 1 W 3t 1 dt t t 2 F i j k i j k F œ � � � œ � � Ê œ � Ê œ � œ � œ a b a b c d # # # $ " ! d d dt dt r † r ' 0 1 (b) 3t 3t 3t and 2t 4t 6t 4t 3t 3t F i j k i j k F œ � � � œ � � Ê œ � � � a b # % $ & $ # d d dt dt r r † W 6t 4t 3t 3t dt t t t t Ê œ � � � œ � � � œ ' 0 1 a b � ‘ & $ # ' % $ # # # " ! 3 3 (c) t t and t ; 3t 3t and 3t 3t r i j r i j k F i k i j F " # " " # # œ � œ � � œ � � œ � Ê œ � a b d d dt dt r r " " † W 3t 3t dt t t ; 3t and 1 W dt 1 Ê œ � œ � œ � œ � œ Ê œ Ê œ œ " # # # # $ # " ! " # ' ' 0 0 1 1 a b � ‘ 3 2 dt dt d d F j k k F r r # # † W W W Ê œ � œ " # 1 2 12. Substitute the parametric representation for (t) x(t) y(t) z(t) representing each path into the vector r i j k œ � � field , and calculate the work W . F F œ ' C † d dt r (a) 2t 2t 2t and 6t W 6t dt 3t 3 F i j k i j k F œ � � œ � � Ê œ Ê œ œ œ d d dt dt r † r ' 0 1 c d # " ! (b) t t t t t t and 2t 4t 6t 5t 3t F i j k i j k F œ � � � � � œ � � Ê œ � � a b a b a b # % % # $ & % # d d dt dt r r † W 6t 5t 3t dt t t t 3 Ê œ � � œ � � œ ' 0 1 a b c d & % # ' & $ " ! Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley Section 16.2 Vector Fields, Work, Circulation, and Flux 1003 (c) t t and t ; t t 2t and 2t W 2t dt ; r i j r i j k F i j k i j F " # " " " œ � œ � � œ � � œ � Ê œ Ê œ œ " d d dt dt r r " † " ' 0 1 (1 t) (t 1) 2 and 2 W 2 dt 2 W W W 3 F i j k k F # # # " # œ � � � � œ Ê œ Ê œ œ Ê œ � œ d d dt dt r r # † # ' 0 1 13. t t t , 0 t 1, and xy y yz t t t and 2t r i j k F i j k F i j k i j k œ � � Ÿ Ÿ œ � � Ê œ � � œ � � # $ # $ d dt r 2t work 2t dt Ê œ Ê œ œ F † d dt r $ $ " # ' 0 1 14. (cos t) (sin t) , 0 t 2 , and 2y 3x (x y) r i j k F i j k œ � � Ÿ Ÿ œ � � � t 6 1 (2 sin t) (3 cos t) (cos t sin t) and ( sin t) (cos t) Ê œ � � � œ � � � Ê F i j k i j k F d d dt 6 dt r r " † 3 cos t 2sin t cos t sin t work 3 cos t 2 sin t cos t sin t dt œ � � � Ê œ � � � # # " " " " 2 2 6 6 6 6 ' 0 21ˆ ‰ t sin 2t t sin t cos t œ � � � � � œ � ‘ 3 3 sin 2t 2 4 2 6 6 " " # ! 1 1 15. (sin t) (cos t) t , 0 t 2 , and z x y t (sin t) (cos t) and r i j k F i j k F i j k œ � � Ÿ Ÿ œ � � Ê œ � � 1 (cos t) (sin t) t cos t sin t cos t work t cos t sin t cos t dt d d dt dt r r œ � � Ê œ � � Ê œ � � i j k F † # # ' 0 21 a b cos t t sin t sin t œ � � � � œ � � ‘ t sin 2t 2 4 # ! 1 1 16. (sin t) (cos t) , 0 t 2 , and 6z y 12x t cos t (12 sin t) and r i j k F i j k F i j k œ � � Ÿ Ÿ œ � � Ê œ � � t 6 1 # # a b (cos t) (sin t) t cos t sin t cos t 2 sin t d d dt 6 dt r r œ � � Ê œ � � i j k F " # † work t cos t sin t cos t 2 sin t dt cos t t sin t cos t 2 cos t 0 Ê œ � � œ � � � œ ' 0 21 a b � ‘ # $ # ! 1 3 1 17. x t and y x t t t , 1 t 2, and xy (x y) t t t and œ œ œ Ê œ � � Ÿ Ÿ œ � � Ê œ � � # # # $ # r i j F i j F i j a b 2t t 2t 2t 3t 2t xy dx (x y) dy dt 3t 2t dt d d d dt dt dt r r r œ � Ê œ � � œ � Ê � � œ œ � i j F F † † $ # $ $ # $ # a b a b ' ' ' C C �" # t t 12 œ � œ � � � œ � œ � ‘ ˆ ‰ ˆ ‰ 3 2 16 3 2 45 18 69 4 3 3 4 3 4 3 4 % $ # �" 18. Along (0 0) to (1 0): t , 0 t 1, and (x y) (x y) t t and t; ß ß œ Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � œ Ê œ r i F i j F i j i F d d dt dt r r † Along (1 0) to (0 1): (1 t) t , 0 t 1, and (x y) (x y) (1 2t) and ß ß œ � � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � � r i j F i j F i j 2t; d d dt dt r r œ � � Ê œ i j F † Along (0 1) to (0 0): (1 t) , 0 t 1, and (x y) (x y) (t 1) (1 t) and ß ß œ � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � � � r j F i j F i j t 1 (x y) dx (x y) dy t dt 2t dt (t 1) dt (4t 1) dt d d dt dt r r œ � Ê œ � Ê � � � œ � � � œ � j F † ' ' ' ' ' C 0 0 0 0 1 1 1 1 2t t 2 1 1 œ � œ � œ c d # " ! 19. x y y y , 2 y 1, and x y y y 2y and 2y y r i j i j F i j i j i j F œ � œ � � œ � œ � Ê œ � œ � # # % & d d dy dy r r † ds dy 2y y dy y y Ê œ œ � œ � œ � � � œ � œ � ' ' ' C 2 2 1 1 F T F † † � � d 64 4 3 63 39 dy 3 3 3 3 r a b � ‘ ˆ ‰ ˆ ‰ & ' # " " " " # # # # # �" # 20. (cos t) (sin t) , 0 t , and y x (sin t) (cos t) and ( sin t) (cos t) r i j F i j F i j i j œ � Ÿ Ÿ œ � Ê œ � œ � � 1 # d dt r F F r Ê † † d dt r œ � � œ � Ê œ � œ � sin t cos t 1 d ( 1) dt # # # ' ' C 0 1Î2 1 21. ( ) t( 2 ) (1 t) (1 2t) , 0 t 1, and xy (y x) 1 3t 2t t and r i j i j i j F i j F i j œ � � � œ � � � Ÿ Ÿ œ � � Ê œ � � � a b # 2 1 5t 2t work dt 1 5t 2t dt t t t d d d 5 2 25 dt dt dt 2 3 6 r r r œ � Ê œ � � Ê œ œ � � œ � � œ i j F F † † # # # $ " ! ' ' C 0 1 a b � ‘ 22. (2 cos t) (2 sin t) , 0 t 2 , and f 2(x y) 2(x y) r i j F i j œ � Ÿ Ÿ œ œ � � � 1 ™ 4(cos t sin t) 4(cos t sin t) and ( 2 sin t) (2 cos t) Ê œ � � � œ � � Ê F i j i j F d d dt dt r r † Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley 1004 Chapter 16 Integration in Vector Fields 8 sin t cos t sin t 8 cos t cos t sin t 8 cos t sin t 8 cos 2t work f d œ � � � � œ � œ Ê œ a b a b a b # # # # ' C ™ † r dt 8 cos 2t dt 4 sin 2t 0 œ œ œ œ ' ' C 0 2 F † d dt r 1 c d # ! 1 23. (a) (cos t) (sin t) , 0 t 2 , x y , and y x ( sin t) (cos t) , r i j F i j F i j i j œ � Ÿ Ÿ œ � œ � � Ê œ � � 1 " # d dt r (cos t) (sin t) , and ( sin t) (cos t) 0 and sin t cos t 1 F i j F i j F F " # " # # # œ � œ � � Ê œ œ � œ † † d d dt dt r r Circ 0 dt 0 and Circ dt 2 ; (cos t) (sin t) cos t sin t 1 and Ê œ œ œ œ œ � Ê œ � œ " # " # # ' ' 0 0 2 2 1 1 1 n i j F n † 0 Flux dt 2 and Flux 0 dt 0 F n # " # † œ Ê œ œ œ œ ' ' 0 0 2 2 1 1 1 (b) (cos t) (4 sin t) , 0 t 2 ( sin t) (4 cos t) , (cos t) (4 sin t) , and r i j i j F i j œ � Ÿ Ÿ Ê œ � � œ � 1 d dt r " ( 4 sin t) (cos t) 15 sin t cos t and 4 Circ 15 sin t cos t dt F i j F F # " # " œ � � Ê œ œ Ê œ † † d d dt dt r r ' 0 21 sin t 0 and Circ 4 dt 8 ; cos t sin t œ œ œ œ œ � Ê � ‘ Š ‹ Š ‹ " " # # ! # " 5 4 2 17 17 1 ' 0 21 1 n i j F n È È † cos t sin t and sin t cos t Flux ( ) dt 17 dt œ � œ � Ê œ œ 4 4 15 4 17 17 17 17 È È È È # # # " " F n F n v † † ' ' 0 0 2 2 1 1 k k Š ‹ È 8 and Flux ( ) dt sin t cos t 17 dt sin t 0 œ œ œ � œ � œ 1 # # # # ! ' ' 0 0 2 2 1 1 F n v † k k Š ‹ È � ‘ 15 15 17 2 È 1 24. (a cos t) (a sin t) , 0 t 2 , 2x 3y , and 2x (x y) ( a sin t) (a cos t) , r i j F i j F i j i j œ � Ÿ Ÿ œ � œ � � Ê œ � � 1 " # d dt r (2a cos t) (3a sin t) , and (2a cos t) (a cos t a sin t) (a cos t) (a sin t) , F i j F i j n v i j " # œ � œ � � Ê œ � k k 2a cos t 3a sin t, and 2a cos t a sin t cos t a sin t F n v F n v " # # # # # # # # # # † † k k k k œ � œ � � Flux 2a cos t 3a sin t dt 2a 3a a , and Ê œ � œ � � � œ � " # # # # # # # # # ! ! ' 0 21 a b � ‘ � ‘ t sin 2t t sin 2t 2 4 2 4 1 1 1 Flux 2a cos t a sin t cos t a sin t dt 2a sin t a a # # # # # # # # # # # # ! ! # # ! œ � � œ � � � � œ ' 0 21 a b c d � ‘ � ‘ t sin 2t a t sin 2t 2 4 2 4 1 1 1 # 1 25. (a cos t) (a sin t) , ( a sin t) (a cos t) 0 Circ 0; M a cos t, F i j i j F " " " " œ � œ � � Ê œ Ê œ œ d d dt dt r r " " † N a sin t, dx a sin t dt, dy a cos t dt Flux M dy N dx a cos t a sin t dt " " " " # # # # œ œ � œ Ê œ � œ � ' ' C 0 1 a b a dt a ; œ œ ' 0 1 # #1 t , t Circ t dt 0; M t, N 0, dx dt, dy 0 Flux F i i F # # # # # # œ œ Ê œ Ê œ œ œ œ œ œ Ê d d dt dt r r # † # ' �a a M dy N dx 0 dt 0; therefore, Circ Circ Circ 0 and Flux Flux Flux a œ � œ œ œ � œ œ � œ ' ' C a a # # " # " # # � 1 26. a cos t a sin t , ( a sin t) (a cos t) a sin t cos t a cos t sin t F i j i j F " " # # # # $ # $ # œ � œ � � Ê œ � � a b a b d d dt dt r r " " † Circ a sin t cos t a cos t sin t dt ; M a cos t, N a sin t, dy a cos t dt, Ê œ � � œ � œ œ œ " " " $ # $ # # # # # ' 0 1 a b 2a 3 $ dx a sin t dt Flux M dy N dx a cos t a sin t dt a ; œ � Ê œ � œ � œ " " " $ $ $ $ $ ' ' C 0 1 a b 4 3 t , t Circ t dt ; M t , N 0, dy 0, dx dt F i i F # # # # # # # # # œ œ Ê œ Ê œ œ œ œ œ œ d d dt dt 3 2a r r # # $ † ' �a a Flux M dy N dx 0; therefore, Circ Circ Circ 0 and Flux Flux Flux a Ê œ � œ œ � œ œ � œ # # # " # " # $ ' C 4 3 27. ( a sin t) (a cos t) , ( a sin t) (a cos t) a sin t a cos t a F i j i j F " " # # # # # œ � � œ � � Ê œ � œ d d dt dt r r " " † Circ a dt a ; M a sin t, N a cos t, dx a sin t dt, dy a cos t dt Ê œ œ œ � œ œ � œ " " " # # ' 0 1 1 Flux M dy N dx a sin t cos t a sin t cos t dt 0; t , 0 Ê œ � œ � � œ œ œ Ê œ " " " # # # # ' ' C 0 1 a b F j i F d d dt dt r r # # † Circ 0; M 0, N t, dx dt, dy 0 Flux M dy N dx t dt 0; therefore, Ê œ œ œ œ œ Ê œ � œ � œ # # # # # # ' ' C a a � Circ Circ Circ a and Flux Flux Flux 0 œ � œ œ � œ " # " # #1 Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley Section 16.2 Vector Fields, Work, Circulation, and Flux 1005 28. a sin t a cos t , ( a sin t) (a cos t) a sin t a cos t F i j i j F " " # # # # $ $ $ $ œ � � œ � � Ê œ � a b a b d d dt dt r r " " † Circ a sin t a cos t dt a ; M a sin t, N a cos t, dy a cos t dt, dx a sin t dt Ê œ � œ œ � œ œ œ � " " " $ $ $ $ $ # # # # ' 0 1 a b 4 3 Flux M dy N dx a cos t sin t a sin t cos t dt a ; t , 0 Ê œ � œ � � œ œ œ Ê œ " " " # # $ # $ # $ # ' ' C 0 1 a b 2 3 dt dt d d F j i F r r # # † Circ 0; M 0, N t , dy 0, dx dt Flux M dy N dx t dt a ; therefore, Ê œ œ œ œ œ Ê œ � œ � œ � # # # # # # # # $ ' ' C a a � 2 3 Circ Circ Circ a and Flux Flux Flux 0 œ � œ œ � œ " # " # $ 4 3 29. (a) (cos t) (sin t) , 0 t , and (x y) x y ( sin t) (cos t) and r i j F i j i j œ � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � � 1 a b # # d dt r (cos t sin t) cos t sin t sin t cos t sin t cos t ds F i j F F T œ � � � Ê œ � � � Ê a b # # # † † d dt r ' C sin t cos t sin t cos t dt sin t sin t œ � � � œ � � � � œ � ' 0 1 a b � ‘ # # " # # ! 2 4 t sin 2t 1 1 (b) (1 2t) , 0 t 1, and (x y) x y 2 and (1 2t) (1 2t) r i F i j i F i j œ � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � œ � � � Ê a b # # # d dt r 4t 2 ds (4t 2) dt 2t 2t 0 F F T † † d dt r œ � Ê œ � œ � œ ' ' C 0 1 c d # " ! (c) (1 t) t , 0 t 1, and (x y) x y and (1 2t) 1 2t 2t r i j F i j i j F i j " # # # œ � � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � � œ � � � � a b a b d dt r" (2t 1) 1 2t 2t 2t Flow 2t dt ; t (t 1) , Ê œ � � � � œ Ê œ œ œ œ � � � F F r i j † † d d dt dt 3 2 r r " a #b # # " # ' ' C 0 1 " " 0 t 1, and (x y) x y and t t 2t 1 Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � � œ � � � � � F i j i j F i j a b a b # # # # d dt r# 2t 2t 1 1 2t 2t 1 2t 2t Flow 2t 2t dt œ � � � � Ê œ � � � œ � Ê œ œ � i j F F a b a b a b # # # # # † † d d dt dt r r # # ' ' C 0 1 # t t Flow Flow Flow 1 œ � œ Ê œ � œ � œ � ‘ # $ " ! " " " # 2 2 3 3 3 3 30. From (1 0) to (0 1): (1 t) t , 0 t 1, and (x y) x y , ß ß œ � � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � � r i j F i j i j " # # a b d dt r" 1 2t 2t , and 2t 2t Flux 2t 2t dt F i j n v i j F n v œ � � � œ � Ê œ � Ê œ � a b k k k k a b # # # " " " " † " ' 0 1 t t ; œ � œ � ‘ # $ " ! " 2 3 3 From (0 1) to ( 1 0): t (1 t) , 0 t 1, and (x y) x y , ß � ß œ � � � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ � � r i j F i j i j # # # a b d dt r# (1 2t) 1 2t 2t , and (2t 1) 1 2t 2t 2 4t 2t F i j n v i j F n v œ � � � � œ � � Ê œ � � � � � œ � � � a b k k k k a b # # # # # # # † Flux 2 4t 2t dt 2t 2t t ; Ê œ � � � œ � � � œ � # # # $ " ! ' 0 1 a b � ‘ 2 2 3 3 From ( 1 0) to (1 0): ( 1 2t) , 0 t 1, and (x y) x y 2 , � ß ß œ � � Ÿ Ÿ œ � � � Ê œ r i F i j i $ # # a b d dt r$ ( 1 2t) 1 4t 4t , and 2 2 1 4t 4t F i j n v j F n v œ � � � � � œ � Ê œ � � a b k k k k a b # # $ $ $ $ † Flux 2 1 4t 4t dt 2 t 2t t Flux Flux Flux Flux Ê œ � � œ � � œ Ê œ � � œ � � œ $ " # $ # # $ " ! " " ' 0 1 a b � ‘ 4 2 2 2 3 3 3 3 3 3 31. on x y 4; F i j œ � � � œ y x y x y x È È # # # # � � # # at (2 0), ; at (0 2), ; at ( 2 0), ß œ ß œ � � ß F j F i ; at ( 2), ; at 2 2 , ; F j F i F i j œ � !ß � œ ß œ � � Š ‹ È È È3 # # " at 2 2 , ; at 2 2 , Š ‹ Š ‹ È È È È ß � œ � � ß F i j È3 # # " ; at 2 2 , F i j F i j œ � � � ß � œ � È È 3 3 # # # # " " Š ‹ È È Copyright (c) 2006 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley 1006 Chapter 16 Integration in Vector Fields 32. x y on x y 1; at (1 0), ; F i j F i œ � � œ ß œ # # at ( 1 0), ; at (0 1), ; at (0 1), � ß œ � ß œ ß � F i F j ; at , ; F j F i j œ � ß œ � Š ‹ " " # # # # È È 3 3 at , ; Š ‹ � ß œ � � " " # # # # È È 3 3 F i j at , ; Š ‹ " " # # # # ß � œ � È È 3 3 F i j at , . Š ‹ � ß � œ � � " " # # # # È È 3 3 F i j 33. (a) P(x y) Q(x y) is to have a magnitude a b and to be tangent to x y a b in a G i j œ ß � ß � � œ � È # # # # # # counterclockwise direction. Thus x y a b 2x 2yy 0 y is the slope of the tangent # # # # w w � œ � Ê � œ Ê œ � x y line at any point on the circle y at (a b). Let b a a b , with in a Ê œ � ß œ � � Ê œ � w # # a b v i j v v k k È counterclockwise direction and tangent to the circle. Then let P(x y) y and Q(x y) x ß œ � ß œ y x for (a b) on x y a b we have b a and a b . Ê œ � � Ê ß � œ � œ � � œ � G i j G i j G # # # # # # k k È (b) x y a b . G F F œ � œ � ˆ ‰ È Š ‹ È # # # # 34. (a) From Exercise 33, part a, y x is a vector tangent to the circle and pointing in a counterclockwise � i � j direction y x is a vector tangent to the circle pointing in a clockwise direction Ê � Ê œ i j G y x x y i � j È # � # is a unit vector tangent to the circle and pointing in a clockwise direction. (b) G F œ � 35. The slope of the line through (x y) and the origin is x y is a vector parallel to that line and ß Ê œ � y x v i j pointing away from the origin is the unit vector pointing toward the origin. Ê F œ � x y x y i � j È # � # 36. (a) From Exercise 35, is a unit vector through (x y) pointing toward the origin and we want � ß x y x y i � j È # � # to have magnitude x y x y x y . k k È È Š ‹ F F i j # # # # � � � Ê œ � � œ � � x y x y i j È # # (b) We want where C 0 is a constant C . k k Š ‹ Š ‹ F F œ Á Ê œ � œ � C C x y x y x y x y x y x y È È È # # # # # # # # � � � � � � i j i j 37. 4t 8t 2 and 2t 12t Flow 12t dt 3t 48 F i j k i j F œ � � � œ � Ê œ Ê œ œ œ $ # $ $ % # ! d d dt dt r † r ' 0 2 c d 38. 12t 9t and 3 4 72t Flow 72t dt 24t 24 F j k j k F œ � œ � Ê œ Ê œ œ œ # # # # $ " !